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By Saverio Tenuta

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11. Image du degr´ e dans le cas fonctionnel. Contrairement a` ce qui se passe dans le cas arithm´etique, degT n’est plus n´ecessairement surjectif dans le cas fonctionnel, comme le montre le lemme suivant. 20. Soit K un corps de fonctions et L/K une extension finie galoisienne, de groupe de Galois G. Soit K0 une extension de K contenue dans L, d0 , de sorte T le tore ResK0 /K Gm et G0 = Gal(L/K0 ). Soit d0 tel que qK0 = qK d que d0 = dK0 . Alors, via les identifications naturelles T (AK ) = Gm (AK0 ) et K (X(T ) G )∨ = Z, le morphisme degT n’est autre que le morphisme d0 degK0 , et son image est d0 Z.

17. Soit v une place archim´edienne de K, V une place de L divisant v, Gv son groupe de d´ecomposition. 76) degT,L,V = [LV : Kv ] degT,v . 22 DAVID BOURQUI D´ emonstration. Soit t ∈ T (Kv ) et m ∈ X(T )G . 79) = [LV : Kv ] degT,v (t) , m . 18. Soit v une place archim´edienne de K, V une place de L divisant v et Gv son groupe de d´ecomposition. 81) degT,L,V : T (Kv ) −→ Hom(X(T )G , R), admettent des sections. Ils sont en particuliers surjectifs. D´ emonstration. 82) HomGv (X(T ), R) → HomGv (X(T ), R× ) ⊂ HomGv (X(T ), L× V ) → T (Kv ) obtenu par composition soit avec l’exponentielle si LV = R, soit avec le carr´e de ∼ l’exponentielle si LV → C.

12. 58) est une r´esolution flasque de X(T ), la fl`eche G G (P ∨ ) v → (X(T )∨ ) v est surjective, et non plus seulement de conoyau fini. Or, si v n’est pas ramifi´ee dans L, tous les ej sont ´egaux a` 1, et donc le raisonnement utilis´e montre que degT,L,V est surjective. 31. Soit M un G-module libre de rang fini comme Z-modules. 4) 0 −→ M −→ P2 −→ Q2 −→ 0 deux r´esolutions flasques de M . 6) 0 −→ M −→ P2 ⊕ P1 −→ Q2 ⊕ P1 −→ 0 sont isomorphes. Cet ´enonc´e, en apparence plus pr´ecis que celui du lemme 5 de [CTS77], d´ecoule en fait aussitˆ ot de la d´emonstration dudit lemme.

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