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By Deliyannis

Forty leçons pour le grec moderne est une méthode d'initiation et d'auto-apprentissage qui permet, à l'aide d'unités courtes et facilement assimilables : - de dominer rapidement un nouvel alphabet, - d'acquérir de façon innovative les bases grammaticales et le vocabulaire d'emploi courant. Cette méthode s'adresse : - aux vrais ou "faux" débutants qui souhaitent s'initier au grec moderne parlé et écrit, - aux hellénistes qui veulent mettre à revenue leur connaissance du grec ancien pour passer au grec moderne, - à tous ceux qui aiment découvrir les racines de notre langue et une civilisation qui imprègne notre tradition. Comporte le livre + sa model sonore : three K7

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Et µ est dense dans si . Exemple 2 : (1) L’ensemble des polynômes à coefficients réels est dense dans l’espace des fonctions continues sur , muni de la distance de la convergence uniforme définie par : ×ÙÔ ´Üµ ´Üµ (cf. Théorème de Stone-Weierstrass, à la fin du chapitre). ܾ (2) Si une partie , dense dans ´ µ, est dénombrable, on dit que l’espace ´ µ est séparable. En analyse fonctionnelle, on fait souvent appel aux espaces fonctionnels séparables, dans lesquels il est possible d’approcher toute fonction de par une combinaison linéaire finie d’éléments de ; c’est le cas de l’espace ľ des fonctions de carré intégrable, et de ´ µ.

On en déduit : Ô ´¿ ¾µ ¾ Ô E12 Posons Ù´Ü Ý µ Ü Ý et Ú ´Ü Ý µ Ý . La transformation inverse s’écrit : Ü Ý Ú ¾ . La matrice jacobienne de la transformation vaut :  ½ Ù ¼ ¾ Ú Ù Ú et Ú¾ Ú de déterminant égal à ¾. Comme par ailleurs la fonction sous l’intégrale est positive, l’application du théorème de changement de variables donne : ·½ Á ·½ ¼ ¼ ¾ ´½ · Ù Ù Ú ¾ µ´½ · ¾ Ú ¾µ ¾ E13 Le résultat s’obtient en appliquant le théorème du changement de variables : Á ´ Ü Ý Þµ Ü Ý Þ E14 (a) On trouve : ´ ¼ ´ µ ½ ¾ µ Ú Ö ´ Ó× Ó× ³ Ö et le nouveau domaine ½ ¼ Ù·Ú ¾ ½ ¼ Ó× ¼ ³ × Ò Ö × Ò ³µ Ö¾ ×Ò Ö est défini par les inéquations : Ú Ù ¾ ½ ³ CHAPITRE 1.

Définition 19 : Une application de ´ si : ¼ µ dans ´ ݾ ¼ ´ ´ ¼ ¼ µ est continue en Ü Ýµ µ ¼ Ü ¼ Ý ´ ´ µ Théorème 9 La fonction de ´ µ dans ´ µ est continue en toute suite ´ÜÒ µÒ de , convergente vers Ü, ´ ´ÜÒ µµÒ est une suite de ¼ ܾ ´ µµ si et seulement µ Ü si et seulement si, pour , convergente vers ´Üµ. ¼ On fait appel à ce théorème, par exemple, pour démontrer le théorème de continuité de l’intégrale de Lebesgue (Théorème 15 - Chapitre 1). ´ ½ Définition 20 : Une application ´ ¼ ¼µ ´ Définition 21 : – Une application tel que : – Si de plus « ½, Ü Ý¾ ´ ½ ½µ Ü Ý¾ alors ½ ½µ ½´ ´ ¾ ½ ´ ¾ ¾µ Ü Ýµ ¾µ Ü ¾´ ´ µ est uniformément continue si : µ Ü ¾´ ´ µ Ý ´ µµ µ est lipschitzienne s’il existe un réel « Ý ´ µµ « ¼ Ü Ýµ ½´ est dite contractante.

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