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By Professor Dr. Helmut Wolter, Dr. Bernd Ingo Dahn (auth.)

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10 (Quotientenkriterium) Es sei ai f 0 fUr jedes i. Dann gilt: 4/1/38 (1) Existiert ein q mit 0 < q < 1, so dafJ fUr jedes i gilt: L absolut konvergent. Ia~:l I ~ 1 fUr jedes i, dann ist L dann ist (2) 1st Ia~:l I~ q, ai divergent. ai Bemerkung. Fur die Anwendung des Quotientenkriteriums genugt es, daB Ia~:l I~ q < 1 fur fast alle i. Ahnlich wie beim Wurzelkriterium folgt aus lim Konvergenz von L 1st andererseits lim Ia~:ll < 1 die absolute ai· Ia~:l I> 1, dann ist L ai divergent. Beispiele. 00 1.

Und weiterhin (a + ib) . (e + id) = (a, b) . (e, d) = (ae - bd, ad + be) = ae - bd + i(ad + be). Berechnet man das Produkt (formal) wie in einem Karper, so entsteht dasselbe Ergebnis: (a + ib) . (c + id) = a·c + a·id + ib·e + ib·id = ae - bd + i·(ad + be). '-v-' i 2 ·db 4/3/7 Definition. (Betrag fur komplexe Zahlen) + iy. Izi Df ";x2 + y2. : 4/3/8 Izl heiBt IZI - z21 Betrag von z und heiBt Abstand zwischen Zl und Z2. J. 4 Potenzreihen 55 Bemerkung. Da die komplexen Zahlen einen K6rper bilden, kann man mit ihnen entsprechend der Axiome 1(1 - 10) rechnen (vgl.

Insbesondere hat man: Definition. (Konvergenz) Es sei (zn) = (an + ib n )n=O,1,2,... eine Folge von komplexen Zahlen und Z = a + ib. (zn) konvergiert gegen Z Df Fur jedes c > 0 existiert ein no, so daB fur jedes n ~ no gilt: IZn - 4/3/10 4/3/11 zi < c. : limz n = Z (oder Zn --t z). 18 (zn) = (an + ibn) konvergiert gegen Z = a + ib gdw an --t a und bn --t b. ) Bemerkung. Fur Reihen mit komplexen Gliedern gelten insbesondere: - das Cauchysche Konvergenzkriterium und die daraus resultierenden Korollare; 4/3/12 4/3/14 - das Wurzel- und Quotientenkriterium; - absolute Konvergenz zieht Konvergenz nach sich.

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