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By Ronald R. Coifman, Guido Weiss (auth.)

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Example text

L&(&p(D))~ = ( k - 2 ) ! ( k ! ) - l ( b p , & p ) . Donc &p = O. Soit, rdciproquement, h harmonique : quel que soit p6 ~ ( k - 2 ) , 1 p(D)&h= O. '6crire come some ae po1~Sm~ Ixl2Jhj , h ~ # -2j = 3 c'est une consequence directe de la d6finition de ~ . Ixl2J~ -2j darts ~-2j et I x 1 2 ~ -2~ et ~-2~ Soient j > £ : montrons que sont °rthogonauxp °u encore que, quels que soient h. J respectivement, (Ixl2Jhj p Ixl 2~h~) =0. (ixl2Jhj'i~12ehe)= (l~12J-~j'&(l~12eh~)~(k-2) = =l()~[2J-~j ' et h e Or: l~12e-~e) ~isqu~ A(l~12eht) = (2e{~-2,2(e+k)}~12~-2h~ d~ ~it ~ue he e~t h ~ o n i ~ et homo~ne ae degr~ k (voir exemple 3, page 41 ).

C(u- 1 ) = X--~" Appliquons les r6sultats du paragraphe precedent sur les representations de darts le cas n = 2. orthonormale pour nes de degr~ ca (2e~ = et +~ 2~, ~(2~) l'espace des polynSmes de deux variables zI et z2 Labase homog~- est formde des vecteurs : (2~)~ telles que I ~ un ~1~ment de 1'ensemble des demi-entiers : y Z. Soit SU(n) et e- j j est un indice prenant les valeurs comprises entre soit entier. ) on a i ~ d i a t e m e n t Se e(e) sj(z) = e-2ije e,(z). -6 I 2je si 8 est en~ier j=l 2 ~ cos 2je j=I/2 est demi-entier.

L a r e p r ~ s e n t a t i o n est irr~ductible. S Supposons qu'il existe un sous-espace V qui ne soit ni ~k ni S P. u SNous ~k) invariant sous l'action de {0}. , en) = i@1 e(@) l a matrice die4onale 4tant donn4, soit CA......... , en, la matrice dens la base PtLisque 1~u = SuP et e (~) aiagonale. @ pa. SuP Pa = ~ ' = a un 414ment u e i P ' ' PpaP~" p ~ a : lamatrice (%~), (f~a) est on en d6dui¢ i/mn4diate- p~ • Ii suffit done de trouver, tel que le coefficient sol% non nul pour en d4duire que • i ~p(k) {p~) de £SUP~ = ~'~EA Ppaeia'eP~ .........

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