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By Soardi P. M.

Nel quantity vengono trattati in modo rigoroso gli argomenti che fanno parte tradizionalmente dei corsi di Analisi matematica I: numeri reali, numeri complessi, limiti, continuità, calcolo differenziale in una variabile e calcolo integrale secondo Riemann in una variabile. Le nozioni di limite e continuità sono ambientate negli spazi metrici, di cui viene presentata una trattazione elementare ma precisa. I concetti astratti sono ogni volta interpretati e discussi nel caso di funzioni reali di variabile reale. Tutti i risultati enunciati nel libro vengono dimostrati, o nel corso dell'esposizione, o nelle appendici dei vari capitoli. Tuttavia, questo libro non vuole essere un'opera puramente teorica. Vengono trattati argomenti che spesso sono demandati alle esercitazioni: il calcolo dei limiti in line with funzioni a valori reali o vettoriali, il calcolo delle derivate, i modi più comuni di integrazione. Tutti gli argomenti esposti sono corredati da numerosi esempi e determine.

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N) Quindi 1 < α(n) + 10−n 1 α (n) + 10−n ≤ α(n) + 10−n 1 + 10−n . α(n) Passando all’estremo inferiore si ottiene αα−1 = 1. Propriet` a 9. Supponiamo α, β, e γ non negativi. Si pone yn = α(n) + β (n) + 2 · 10−n (n) xn = (α + β) γ (n) + 10−n γ (n) . 4. Si ottiene (α + β) γ = inf α(n) + β (n) + 2 · 10−n n γ (n) + 10−n . In modo analogo si valuta αγ + βγ, arrivando cos`ı alla tesi. Se uno o pi` u numeri sono negativi, a seconda dei casi si passa ai moduli o si sostituisce, ad esempio α(n) , con −α(n) − 10−n .

Quindi anche g ◦ f `e iniettiva. 4. Successioni. 4 35 Successioni. Indici Denotiamo, come di consueto, con N = {1, 2, 3, . . , n, . } l’insieme dei numeri naturali. 1 Sia X un insieme non vuoto. Una successione a valori in X `e una funzione f : N →X. L’immagine f (n) dell’intero n viene abitualmente indicata con xn . Il valore xn si chiama termine generale o termine n-esimo della successione. La successione viene indicata mediante un allineamento x1 , x2 , x3 , . . xn , . . oppure mediante uno dei simboli ∞ {xn }n=1 {xn }n∈N {xn } .

5. 1 si ha Ax = ∅, x∈R+ Ax = (0, +∞). 2 si ha sθ = R 2 . sθ = {(0, 0)} , θ∈[0,2π) θ∈[0,2π) Se l’insieme degli indici `e N (cio`e nel caso di una successione di insiemi), si usano le notazioni +∞ +∞ An , n=1 An . n=1 Se l’insieme degli indici `e l’insieme dei primi k naturali {1, 2, . . , k}, si usano le notazioni k k An , n=1 An . n=1 L’unione e l’intersezione di famiglie qualsiasi di sottoinsiemi godono delle consuete propriet`a di queste operazioni. 1 Sia X un insieme non vuoto. Si dice che X `e finito se esiste n ∈ N tale che X sia in corrispondenza biunivoca con l’insieme {1, 2, .

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